A todos los alumnos:
Se les solicita revisar sus calificaciones parciales, si tuvieran uno o más parciales reprobados, se les recuerda es necesario presentarse la próxima semana, pues es semana de recuperación.
Por su atención, gracias.
martes, 8 de diciembre de 2009
Ejercicios al 23 de noviembre
Problemas cuyas soluciones implican sistemas de ecuaciones de Primer Grado.
Para que el problema pueda ser resuelto se requiere que el número de ecuaciones empleadas sea igual al número de incógnitas.
Problemas que conducen a ecuaciones de Segundo Grado
Es conveniente hacer notar que frecuentemente, al resolver un problema meciante el uso de una ecuación de segundo grado, el problema tiene sólo una solución en tanto que la ecuación tiene dos soluciones.
Ejercicios al 23 de noviembre
miércoles, 16 de septiembre de 2009
Ejercicios_16_noviembre
8.4 Problemas que conducen a ecuaciones de Segundo Grado
Es conveniente hacer notar que frecuentemente, al resolver un problema mediante el uso de una ecuación de segundo grado, el problema tiene sólo una solución en tanto que la ecuación tiene dos soluciones.
Ejemplo:
Un edificio rectangular cuyo fondo es el doble de su frente, se divide en dos partes mediante una pared situada a 30 metros del frente y paralela a éste. Si la parte trasera del edificio comprende 3 500 metros cuadrados, encontrar las dimensiones del edificio.
x
3500 m2
30m
2x
x = longitud del frente
2x = longitud del fondo
Entonces:
2x - 30 = largo de la parte trasera
x = ancho de la parte trasera
Por tanto, dado que la fórmula del área es : A = b x h
x (2x - 30) = área de la parte trasera
En consecuencia:
x (2x - 30) = 3500
Efectuando la multiplicación:
2x2 - 30x - 3500 = 0
Factorizando
( x - 50) (2x + 70) = 0
Por tanto:
x = 50 y -35
Puesto que las dimensiones no pueden ser negativas se tiene:
x = 50 metros de frente
x = 100 metros de fondo
Ejercicios al 16 de noviembre
Es conveniente hacer notar que frecuentemente, al resolver un problema mediante el uso de una ecuación de segundo grado, el problema tiene sólo una solución en tanto que la ecuación tiene dos soluciones.
Ejemplo:
Un edificio rectangular cuyo fondo es el doble de su frente, se divide en dos partes mediante una pared situada a 30 metros del frente y paralela a éste. Si la parte trasera del edificio comprende 3 500 metros cuadrados, encontrar las dimensiones del edificio.
x
3500 m2
30m
2x
x = longitud del frente
2x = longitud del fondo
Entonces:
2x - 30 = largo de la parte trasera
x = ancho de la parte trasera
Por tanto, dado que la fórmula del área es : A = b x h
x (2x - 30) = área de la parte trasera
En consecuencia:
x (2x - 30) = 3500
Efectuando la multiplicación:
2x2 - 30x - 3500 = 0
Factorizando
( x - 50) (2x + 70) = 0
Por tanto:
x = 50 y -35
Puesto que las dimensiones no pueden ser negativas se tiene:
x = 50 metros de frente
x = 100 metros de fondo
Ejercicios al 16 de noviembre
Ejercicios_9_noviembre
8. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La ecuación que contiene como potencia más alta de la incógnita la segunda potencia, independientemente del número de incógnitas.
Una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0
8.1 Solución de ecuaciones de Segundo Grado por Factorización
Depende del principio:
El producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero.
Método
1. Se trasladan todos los términos de la ecuación al miembro de la izquierda, con lo que el miembro de la derecha queda igual a cero.
2. Se factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado.
3. Se iguala cada factor con cero y se resuelven las dos ecuaciones de primer grado así formadas.
Ejemplo:
x2 = x + 2
x2 - x -2 = 0
(x - 2) (x +1) = 0
Las raíces de la ecuación x = 2 y x = - 1
Ejercicios al 9 de noviembre
La ecuación que contiene como potencia más alta de la incógnita la segunda potencia, independientemente del número de incógnitas.
Una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0
8.1 Solución de ecuaciones de Segundo Grado por Factorización
Depende del principio:
El producto de dos o más factores es cero, si cualquiera de los factores es cero.
Método
1. Se trasladan todos los términos de la ecuación al miembro de la izquierda, con lo que el miembro de la derecha queda igual a cero.
2. Se factoriza el miembro de la izquierda en factores de primer grado.
3. Se iguala cada factor con cero y se resuelven las dos ecuaciones de primer grado así formadas.
Ejemplo:
x2 = x + 2
x2 - x -2 = 0
(x - 2) (x +1) = 0
Las raíces de la ecuación x = 2 y x = - 1
Ejercicios al 9 de noviembre
Ejercicios_2_noviembre
7.6 Problemas cuyas soluciones implican sistemas de ecuaciones de Primer Grado
Para que el problema pueda ser resuelto se requiere que el número de ecuaciones empleadas sea igual al número de incógnitas.
Ejemplo:
Un propietario recibió $ 12 000.00 por pago de la renta de dos oficinas en el año. La renta mensual de una era $ 100.00 mayor que la otra. ¿ Cuál fue la renta mensual que recibió de cada una si la más cara estuvo desalquilada dos meses?
Sea x = renta mensual de la más cara
y = renta mensual de la otra
Entonces
x - y = 100
Además, la más cara, x estuvo rentada 10 meses y la segunda y por 12 meses. Por tanto:
10x + 12y = 12000
Resolviendo
x - y = 100
10x + 12y = 12000
Multiplicando la Ecuación 1 por 12 y sumando ambas ecuaciones tenemos:
12x - 12y = 1200
10x + 12y = 12000
22x = 13200
x = 600
Sustituyendo x
600 - y = 100
- y = 100-600
(-1)( - y = - 500)
y = 500
Solución: Las rentas mensuales fueron $600.00 y $500.00 respectivamente.
Ejercicios al 2 de noviembre
Para que el problema pueda ser resuelto se requiere que el número de ecuaciones empleadas sea igual al número de incógnitas.
Ejemplo:
Un propietario recibió $ 12 000.00 por pago de la renta de dos oficinas en el año. La renta mensual de una era $ 100.00 mayor que la otra. ¿ Cuál fue la renta mensual que recibió de cada una si la más cara estuvo desalquilada dos meses?
Sea x = renta mensual de la más cara
y = renta mensual de la otra
Entonces
x - y = 100
Además, la más cara, x estuvo rentada 10 meses y la segunda y por 12 meses. Por tanto:
10x + 12y = 12000
Resolviendo
x - y = 100
10x + 12y = 12000
Multiplicando la Ecuación 1 por 12 y sumando ambas ecuaciones tenemos:
12x - 12y = 1200
10x + 12y = 12000
22x = 13200
x = 600
Sustituyendo x
600 - y = 100
- y = 100-600
(-1)( - y = - 500)
y = 500
Solución: Las rentas mensuales fueron $600.00 y $500.00 respectivamente.
Ejercicios al 2 de noviembre
Ejercicios_26_octubre
7.4 Ecuaciones simultáneas de Primer Grado
7.4.1 Eliminación de una variable por adición o sustracción.
Para resolver dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se elimina primero una de las variables. Esto es, de las dos ecuaciones dadas se obtiene una tercera, con una sola incógnita cuya solución es uno de los valores buscados.
Ejemplo:
2x - 3y = 1
x + 3y = 5
Sumando
3x = 6
Transponiendo
X = 6/3
X = 2
Sustituyendo en la Ecuación 2 es decir X + 3y = 5
2 + 3y = 5
3y = 5 - 2
3y = 3
y = 1
Solución: x = 2, y = 1
7.4.2 Eliminación de una variable por sustitución
Con el fin de lograr mayor precisión en lo que va a exponerse se supondrá que y es la variable que debe eliminarse.
1. Se resuelve una de las ecuaciones para y, en términos de x.
2. Se sustituye el valor encontrado de y en la otra ecuación, y se obtiene así una ecuación en la que aparece únicamente x.
3. Se resuelve para x esta última ecuación.
4. Se sustituye el valor de x en la función obtenida en el paso 1 y se calcula el valor de y.
5. Se escribe la solución.
Ejemplo:
5x + 3y = 13
3x - y = 5
De la Ecuación 2
3x - y = 5
Resolviendo para y
(- y = 5 - 3x) (-1)
y = 3x - 5
Sustituyendo:
5x + 3 (3x -5) = 13
Resolviendo
5x + 3 (3x -5) = 13
5x + 9x - 15 = 13
14x = 13 + 15
14x = 28
x = 28/14
x = 2
Sustituyendo en la Ecuación y = 3x - 5
y = 3(2) - 5
y = 6 - 5
y = 1
Solución: x = 2, y = 1
7.4.3 Eliminación de una variable por igualación
Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y en igualar sus valores.
Aplicación del Principio de Igualdad, dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
1. Se despeja en las dos ecuaciones la misma incógnita, (la que se quiere eliminar).
2. Se igualan las dos ecuaciones formando una tercera igualdad con los valores que representan la incógnita eliminada.
3. Se resuelve la ecuación para obtener el valor de la incógnita no eliminada.
4. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones dadas y se resuelve la ecuación para encontrar el valor de la otra incógnita.
5. Se comprueba el sistema con las soluciones obtenidas.
Ejemplo:
X + y = 52
10 x + 20 y = 700
X = 52 – y
X = 700- 20y
10
52 – y = 700- 20y
10
520 -10y = 700 – 20
-10 y + 20 y = 700 -520
10 y = 180
y = 18
Ejercicios al 26 de octubre
7.4.1 Eliminación de una variable por adición o sustracción.
Para resolver dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se elimina primero una de las variables. Esto es, de las dos ecuaciones dadas se obtiene una tercera, con una sola incógnita cuya solución es uno de los valores buscados.
Ejemplo:
2x - 3y = 1
x + 3y = 5
Sumando
3x = 6
Transponiendo
X = 6/3
X = 2
Sustituyendo en la Ecuación 2 es decir X + 3y = 5
2 + 3y = 5
3y = 5 - 2
3y = 3
y = 1
Solución: x = 2, y = 1
7.4.2 Eliminación de una variable por sustitución
Con el fin de lograr mayor precisión en lo que va a exponerse se supondrá que y es la variable que debe eliminarse.
1. Se resuelve una de las ecuaciones para y, en términos de x.
2. Se sustituye el valor encontrado de y en la otra ecuación, y se obtiene así una ecuación en la que aparece únicamente x.
3. Se resuelve para x esta última ecuación.
4. Se sustituye el valor de x en la función obtenida en el paso 1 y se calcula el valor de y.
5. Se escribe la solución.
Ejemplo:
5x + 3y = 13
3x - y = 5
De la Ecuación 2
3x - y = 5
Resolviendo para y
(- y = 5 - 3x) (-1)
y = 3x - 5
Sustituyendo:
5x + 3 (3x -5) = 13
Resolviendo
5x + 3 (3x -5) = 13
5x + 9x - 15 = 13
14x = 13 + 15
14x = 28
x = 28/14
x = 2
Sustituyendo en la Ecuación y = 3x - 5
y = 3(2) - 5
y = 6 - 5
y = 1
Solución: x = 2, y = 1
7.4.3 Eliminación de una variable por igualación
Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y en igualar sus valores.
Aplicación del Principio de Igualdad, dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
1. Se despeja en las dos ecuaciones la misma incógnita, (la que se quiere eliminar).
2. Se igualan las dos ecuaciones formando una tercera igualdad con los valores que representan la incógnita eliminada.
3. Se resuelve la ecuación para obtener el valor de la incógnita no eliminada.
4. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones dadas y se resuelve la ecuación para encontrar el valor de la otra incógnita.
5. Se comprueba el sistema con las soluciones obtenidas.
Ejemplo:
X + y = 52
10 x + 20 y = 700
X = 52 – y
X = 700- 20y
10
52 – y = 700- 20y
10
520 -10y = 700 – 20
-10 y + 20 y = 700 -520
10 y = 180
y = 18
Ejercicios al 26 de octubre
Ejercicios_19_octubre
7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
La ecuación se caracteriza por contener algunos números de valor conocido y otros de valor desconocido. Unos y otros se relacionan entre sí de acuerdo con los signos de las operaciones matemáticas.
Una ecuación es una proposición de que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones se llaman miembros de la ecuación. Como ejemplo de su utilidad, tenemos el tiempo y la dirección en la que deben lanzarse un satélite para situarlo en una órbita deseada.
Las ecuaciones que son válidas para todos los valores posibles de las letras que contienen, se llaman identidades.
Cualquier conjunto de números que al sustituir letras de valor no conocido en la ecuación hacen a los miembros de ésta iguales, se llama solución de la ecuación.
Reglas para obtener ecuaciones equivalentes:
1. Si se agrega la misma cantidad a cada miembro de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la primera.
2. Si se multiplica o divide cada miembro de una ecuación por una misma constante diferente de cero la ecuación obtenida es equivalente a la primera.
Transposición: trasladar un término de uno miembro al otro de la ecuación con tal de que se cambie el signo de cada término transpuesto.
7.1 Solución de ecuaciones de Primer Grado
Si en una ecuación no hay fracciones en cuyos denominadores aparezca la incógnita y si ésta es de primer grado, la ecuación se llama ecuación de primer grado.
Se puede resolver mediante transposición de los términos que contienen la incógnita al lado izquierdo de la igualdad y los términos constantes a la derecha. Luego, sumando los términos, se obtiene una ecuación del tipo ax = b. Por último, el valor de x se obtiene dividiendo ambos miembros entre a.
Ejemplo:
6x - 7 = 2x + 1
6x - 2x = 1 + 7
4x = 8
x = 2
7.2 Ecuaciones que comprenden fracciones
Si una ecuación comprende fracciones se multiplica cada miembro por el MCM de los denominadores y mediante ello se obtiene una ecuación sin las fracciones. Si la ecuación resultante es de primer grado, se puede resolver por los métodos del párrafo anterior.
Ejercicios al 19 de octubre
La ecuación se caracteriza por contener algunos números de valor conocido y otros de valor desconocido. Unos y otros se relacionan entre sí de acuerdo con los signos de las operaciones matemáticas.
Una ecuación es una proposición de que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones se llaman miembros de la ecuación. Como ejemplo de su utilidad, tenemos el tiempo y la dirección en la que deben lanzarse un satélite para situarlo en una órbita deseada.
Las ecuaciones que son válidas para todos los valores posibles de las letras que contienen, se llaman identidades.
Cualquier conjunto de números que al sustituir letras de valor no conocido en la ecuación hacen a los miembros de ésta iguales, se llama solución de la ecuación.
Reglas para obtener ecuaciones equivalentes:
1. Si se agrega la misma cantidad a cada miembro de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la primera.
2. Si se multiplica o divide cada miembro de una ecuación por una misma constante diferente de cero la ecuación obtenida es equivalente a la primera.
Transposición: trasladar un término de uno miembro al otro de la ecuación con tal de que se cambie el signo de cada término transpuesto.
7.1 Solución de ecuaciones de Primer Grado
Si en una ecuación no hay fracciones en cuyos denominadores aparezca la incógnita y si ésta es de primer grado, la ecuación se llama ecuación de primer grado.
Se puede resolver mediante transposición de los términos que contienen la incógnita al lado izquierdo de la igualdad y los términos constantes a la derecha. Luego, sumando los términos, se obtiene una ecuación del tipo ax = b. Por último, el valor de x se obtiene dividiendo ambos miembros entre a.
Ejemplo:
6x - 7 = 2x + 1
6x - 2x = 1 + 7
4x = 8
x = 2
7.2 Ecuaciones que comprenden fracciones
Si una ecuación comprende fracciones se multiplica cada miembro por el MCM de los denominadores y mediante ello se obtiene una ecuación sin las fracciones. Si la ecuación resultante es de primer grado, se puede resolver por los métodos del párrafo anterior.
Ejercicios al 19 de octubre
Ejercicios_12_octubre
6. FACTORIZACION
Para factorizar un multinomio es necesario encontrar primero dos o más multinomios o un monomio y uno o más multinomios, cuyo producto sea el multinomio dado.
Tipos más usuales
1. Multinomio que tienen un factor común
2. La diferencia de dos cuadrados
3. Trinomios que son cuadrados perfectos
4. Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos
6.1 Multinomios que tienen un factor común = Monomio por polinomio
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio, el multinomio se puede factorizar dividiendolo por el monomio.
Ejemplo:
3x3 - 15x2 + 9x
Nótese que todos los términos son divisibles por 3x.
Entonces:
3x3 - 15x2 + 9x = 3x (x2 - 5x + 3)
6.2 Diferencia de cuadrados = Binomios Conjugados
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
Donde se observa que los factores de la diferencia de los cuadrados de dos números son, respectivamente, la suma y la diferencia de los números.
Ejemplo:
4x2 - y2 = (2x2)2 - y2 = (2x + y) (2x - y)
6.3 Trinomios que son cuadrados perfectos = Binomio al cuadrado
De la formula: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Los términos 1 y 3 son cuadrados perfectos y positivos
El término 2 es el doble producto de la raíz cuadrada de los otros dos.
Además,
Si el término del doble producto es positivo, el trinomio es el cuadrado de la suma de las dos raíces cuadradas
Y
Si el término del doble producto es negativo, el trinomio es el cuadrado de la diferencia de las dos raíces cuadradas.
Ejemplo:
4a2 + 12ab + 9b2
Adviértase que
4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2
4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2
6.4 Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos
Consideramos un trinomio del tipo px2 + qxy + ry2
Si px2 + qxy + ry2 = (ax + by) (cx + dy)
Entonces
p = ac r= bd y q = ad + bc
Ejemplo:
6x2 + 11x - 10
Se sabe que los factores de 6x2 son los primeros términos de los factores de ese trinomio y que los dos factores de - 10 son sus segundos términos. Pero estos factores deben ordenarse de tal modo que la suma algebraica de los productos cruzados sea 11x.
La ordenación deseada es
(3x - 2) (2x + 5)
6.5 Factores de Binomios del Tipo an + bn
Corrientemente la suma de dos cuadrados es irreductible, aunque expresiones como x6 + y6 y x12 + y12 que son la suma de dos cubos pueden ser factorizados.
1. La suma o diferencia de dos cubos. Si se divide x3 + y3 por x + y , se obtiene x2 - xy + y2
Por tanto:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
y de la misma manera
x3 - y3 = (x + y) (x2 + xy + y2)
Ejemplo
8a3 + b3
8a3 + b3 = (2a + b) (4a2 - 2a + b2)
6.6 Factorización por agrupación = 2 binomios
Frecuentemente un multinomio que contiene cuatro o más términos se puede reducir a una forma factorizable mediante una adecuada agrupación de sus términos y posterior factorización de los grupos.
Ejemplo:
ax - bx - ay + by
ax - bx - ay + by = (ax - bx) - (ay - by)
ax - bx - ay + by = x (a - b) - y (a - b)
ax - bx - ay + by = (a - b) (x - y)
Ejercicios al 12 de octubre
Para factorizar un multinomio es necesario encontrar primero dos o más multinomios o un monomio y uno o más multinomios, cuyo producto sea el multinomio dado.
Tipos más usuales
1. Multinomio que tienen un factor común
2. La diferencia de dos cuadrados
3. Trinomios que son cuadrados perfectos
4. Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos
6.1 Multinomios que tienen un factor común = Monomio por polinomio
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio, el multinomio se puede factorizar dividiendolo por el monomio.
Ejemplo:
3x3 - 15x2 + 9x
Nótese que todos los términos son divisibles por 3x.
Entonces:
3x3 - 15x2 + 9x = 3x (x2 - 5x + 3)
6.2 Diferencia de cuadrados = Binomios Conjugados
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
Donde se observa que los factores de la diferencia de los cuadrados de dos números son, respectivamente, la suma y la diferencia de los números.
Ejemplo:
4x2 - y2 = (2x2)2 - y2 = (2x + y) (2x - y)
6.3 Trinomios que son cuadrados perfectos = Binomio al cuadrado
De la formula: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Los términos 1 y 3 son cuadrados perfectos y positivos
El término 2 es el doble producto de la raíz cuadrada de los otros dos.
Además,
Si el término del doble producto es positivo, el trinomio es el cuadrado de la suma de las dos raíces cuadradas
Y
Si el término del doble producto es negativo, el trinomio es el cuadrado de la diferencia de las dos raíces cuadradas.
Ejemplo:
4a2 + 12ab + 9b2
Adviértase que
4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2
4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2
6.4 Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos
Consideramos un trinomio del tipo px2 + qxy + ry2
Si px2 + qxy + ry2 = (ax + by) (cx + dy)
Entonces
p = ac r= bd y q = ad + bc
Ejemplo:
6x2 + 11x - 10
Se sabe que los factores de 6x2 son los primeros términos de los factores de ese trinomio y que los dos factores de - 10 son sus segundos términos. Pero estos factores deben ordenarse de tal modo que la suma algebraica de los productos cruzados sea 11x.
La ordenación deseada es
(3x - 2) (2x + 5)
6.5 Factores de Binomios del Tipo an + bn
Corrientemente la suma de dos cuadrados es irreductible, aunque expresiones como x6 + y6 y x12 + y12 que son la suma de dos cubos pueden ser factorizados.
1. La suma o diferencia de dos cubos. Si se divide x3 + y3 por x + y , se obtiene x2 - xy + y2
Por tanto:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
y de la misma manera
x3 - y3 = (x + y) (x2 + xy + y2)
Ejemplo
8a3 + b3
8a3 + b3 = (2a + b) (4a2 - 2a + b2)
6.6 Factorización por agrupación = 2 binomios
Frecuentemente un multinomio que contiene cuatro o más términos se puede reducir a una forma factorizable mediante una adecuada agrupación de sus términos y posterior factorización de los grupos.
Ejemplo:
ax - bx - ay + by
ax - bx - ay + by = (ax - bx) - (ay - by)
ax - bx - ay + by = x (a - b) - y (a - b)
ax - bx - ay + by = (a - b) (x - y)
Ejercicios al 12 de octubre
Ejercicios al 5 de octubre
5. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
Multiplicación de dos binomios
(ax + by) ( cx + dy) = acx2 + (ad + bc) xy + bdy2
Binomio al cuadrado = Trinomio cuadrado perfecto
(x + y) = x2 + 2xy + y2
Multiplicar la suma de dos números por su diferencia = Diferencia de cuadrados
(x + y) (x - y) = x2 - y2
Binomios con término común = trinomio de la forma x2 + bx + c (si b y c son constantes)
(x + 3) (x + 4) = x2 + 7x + 12
Cuadrado de un multinomio
El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término, más la suma algebraica del doble producto de cada término por cada uno de los que le suceden.
Ejemplo:
(x2 - 2x + 5)2 = (x2)2 + (-2x)2 + (+5)2 + 2(x2) (-2x) + 2(x2) (+5) + 2(-2x) (5)
= x4 + 4x2 +25 - 4x3 + 10x2 + -20x
= x4 - 4x3 + 14x2 - 20x + 25
Binomio al cubo = Polinomio cubo perfecto
(a + b) 3 = a3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3
Ejercicios al 5 de octubre
Multiplicación de dos binomios
(ax + by) ( cx + dy) = acx2 + (ad + bc) xy + bdy2
Binomio al cuadrado = Trinomio cuadrado perfecto
(x + y) = x2 + 2xy + y2
Multiplicar la suma de dos números por su diferencia = Diferencia de cuadrados
(x + y) (x - y) = x2 - y2
Binomios con término común = trinomio de la forma x2 + bx + c (si b y c son constantes)
(x + 3) (x + 4) = x2 + 7x + 12
Cuadrado de un multinomio
El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada término, más la suma algebraica del doble producto de cada término por cada uno de los que le suceden.
Ejemplo:
(x2 - 2x + 5)2 = (x2)2 + (-2x)2 + (+5)2 + 2(x2) (-2x) + 2(x2) (+5) + 2(-2x) (5)
= x4 + 4x2 +25 - 4x3 + 10x2 + -20x
= x4 - 4x3 + 14x2 - 20x + 25
Binomio al cubo = Polinomio cubo perfecto
(a + b) 3 = a3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3
Ejercicios al 5 de octubre
Ejercicios_28_septiembre
4. DIVISION
Sea escribiendo los dos números de fracción a/b. El número a se llama dividendo, el número b se llama divisor y el resultado de la operación se llama cociente.
Leyes de los signos para la división
El cociente de dos números del mismo signo es positivo. El cociente de dos números de signos diferentes es negativo.
Ley de los exponentes de la división
am = am-n
an
demostración
PRIMERA
a5 = a5-3
a3
a5 = a2
a3
SEGUNDA
a n = an
b bn
4.1 Divisiones que incluyen multinomios
4.1.1 El cociente se obtiene al dividir un multinomio entre un monomio es la suma de los cocientes que resultan de dividir cada término del multinomio por el monomio.
Ejemplo:
20 c12 - 16c8 - 8c5 = 20 c12 - 16c8 - 8c5
4c4 4c4 4c4 4c4
20 c12 - 16c8 - 8c5 = 5c8 - 4c4 -2c
4c4
4.1.2 Para dividir un multinomio por otro multinomio se efectúan los siguientes pasos:
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.
3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se sustrae del dividendo.
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el divisor.
Ejemplo:
1ro. paso
a + b / a2 + 2ab + b2
2do. paso
a
a + b / a2 + 2ab + b2
a2 + ab
3ro. paso
a
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
4to. paso
a + b
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
5to. paso
a + b
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
+ab + b2
a + b
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
-ab - b2
---
Ejercicios del 28 de septiembre
Sea escribiendo los dos números de fracción a/b. El número a se llama dividendo, el número b se llama divisor y el resultado de la operación se llama cociente.
Leyes de los signos para la división
El cociente de dos números del mismo signo es positivo. El cociente de dos números de signos diferentes es negativo.
Ley de los exponentes de la división
am = am-n
an
demostración
PRIMERA
a5 = a5-3
a3
a5 = a2
a3
SEGUNDA
a n = an
b bn
4.1 Divisiones que incluyen multinomios
4.1.1 El cociente se obtiene al dividir un multinomio entre un monomio es la suma de los cocientes que resultan de dividir cada término del multinomio por el monomio.
Ejemplo:
20 c12 - 16c8 - 8c5 = 20 c12 - 16c8 - 8c5
4c4 4c4 4c4 4c4
20 c12 - 16c8 - 8c5 = 5c8 - 4c4 -2c
4c4
4.1.2 Para dividir un multinomio por otro multinomio se efectúan los siguientes pasos:
1. Tanto el dividendo como el divisor se disponen en orden ascendente o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en ambos.
2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.
3. Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se sustrae del dividendo.
4. El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
5. Se continúa este proceso hasta obtener un residuo en el cual el mayor exponente de la letra que en el paso 1 se escogió como base de la ordenación sea menor que el mayor exponente de dicha letra en el divisor.
Ejemplo:
1ro. paso
a + b / a2 + 2ab + b2
2do. paso
a
a + b / a2 + 2ab + b2
a2 + ab
3ro. paso
a
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
4to. paso
a + b
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
5to. paso
a + b
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
+ab + b2
a + b
a + b / a2 + 2ab + b2
-a2 - ab
+ab + b2
-ab - b2
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Ejercicios del 28 de septiembre
lunes, 24 de agosto de 2009
Ejercicios al 21 de septiembre
MULTIPLICACION
El producto de dos números a y b se expresa como a.b o ab.
Cada uno de los números que aparecen en el producto, o en el producto de dos o más de ellos, es un factor del producto.
Cualquier número que no tenga otro factor que él mismo y uno, se llama número primo.
Ejemplo:
6 ab = (3) (2) (a) (b) (1)
3, 2, a, b son números primos.
Leyes de los signos para la multiplicación
El producto de dos factores del mismo signo es positivo. El producto de dos factores de signos diferentes es negativo.
Propiedad conmutativa
a . b = b . a
Propiedad asociativa
a (bc) = (ab) c
Propiedad distributiva
a (b+c) = ab + ac
Ejercicios al 21 de septiembre
El producto de dos números a y b se expresa como a.b o ab.
Cada uno de los números que aparecen en el producto, o en el producto de dos o más de ellos, es un factor del producto.
Cualquier número que no tenga otro factor que él mismo y uno, se llama número primo.
Ejemplo:
6 ab = (3) (2) (a) (b) (1)
3, 2, a, b son números primos.
Leyes de los signos para la multiplicación
El producto de dos factores del mismo signo es positivo. El producto de dos factores de signos diferentes es negativo.
Propiedad conmutativa
a . b = b . a
Propiedad asociativa
a (bc) = (ab) c
Propiedad distributiva
a (b+c) = ab + ac
Ejercicios al 21 de septiembre
Ejercicios_14_septiembre
Sustracción Algebraica
Para restar una cantidad de otra se cambia el signo del sustraendo y se procede como en la adición.
Ejemplo:
Sustraer 3x - 5y + 7z de 5x + 2y -3z
5x + 2y - 3z minuendo
3x - 5y + 7z sustraendo
2x + 7y - 10z resta
Ejercicios al 14 de septiembre
Para restar una cantidad de otra se cambia el signo del sustraendo y se procede como en la adición.
Ejemplo:
Sustraer 3x - 5y + 7z de 5x + 2y -3z
5x + 2y - 3z minuendo
3x - 5y + 7z sustraendo
2x + 7y - 10z resta
Ejercicios al 14 de septiembre
Ejercicios_7_septiembre
2.1 Adición Algebraica
La suma de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los dos números, precedida de su signo común; la suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números, precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
a) Suma de términos que poseen las mismas letras:
3 a2b + 2 a2b = 5 a2b
Se efectúa la suma aritmética de los coeficientes y se agrega el grupo de letras.
b) Suma de 2 o más términos que contienen letras diferentes:
La suma de - 4ab y 3cd es -4ab + 3cd
Ejercicios al 7 de septiembre
La suma de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los dos números, precedida de su signo común; la suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números, precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
a) Suma de términos que poseen las mismas letras:
3 a2b + 2 a2b = 5 a2b
Se efectúa la suma aritmética de los coeficientes y se agrega el grupo de letras.
b) Suma de 2 o más términos que contienen letras diferentes:
La suma de - 4ab y 3cd es -4ab + 3cd
Ejercicios al 7 de septiembre
Ejecicios para realizar al 31 de agosto
Definiciones Básicas
Expresión algebraica: Un grupo de números y letras combinados entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales.
Término algebraico: Un número o una letra o varios números y letras combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o división, o de ambas.
En la expresión 3a2 - 2ab + 4c2
Términos: 3a2 , - 2ab , 4c2
Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico.
Ejemplo: 3 a2 b, 3 es el coeficiente numérico de a2b .
Ejecicios para realizar al 31 de agosto
Expresión algebraica: Un grupo de números y letras combinados entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales.
Término algebraico: Un número o una letra o varios números y letras combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o división, o de ambas.
En la expresión 3a2 - 2ab + 4c2
Términos: 3a2 , - 2ab , 4c2
Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico.
Ejemplo: 3 a2 b, 3 es el coeficiente numérico de a2b .
Ejecicios para realizar al 31 de agosto
lunes, 17 de agosto de 2009
Bienvenida
En este ciclo que inicia, les deseo un desarrollo exitoso y por lo mismo les comparto la frase que me ha permitido lograr grandes metas, dice:
"Vale más un gramo de hoy que un kilo de mañana"
Introducción
Lista de asistencia
"Vale más un gramo de hoy que un kilo de mañana"
Introducción
Lista de asistencia
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