Ejercicios_12_octubre

6. FACTORIZACION

Para factorizar un multinomio es necesario encontrar primero dos o más multinomios o un monomio y uno o más multinomios, cuyo producto sea el multinomio dado.
Tipos más usuales

1. Multinomio que tienen un factor común
2. La diferencia de dos cuadrados
3. Trinomios que son cuadrados perfectos
4. Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos

6.1 Multinomios que tienen un factor común = Monomio por polinomio

Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio, el multinomio se puede factorizar dividiendolo por el monomio.

Ejemplo:

3x3 - 15x2 + 9x

Nótese que todos los términos son divisibles por 3x.

Entonces:

3x3 - 15x2 + 9x = 3x (x2 - 5x + 3)

6.2 Diferencia de cuadrados = Binomios Conjugados

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

Donde se observa que los factores de la diferencia de los cuadrados de dos números son, respectivamente, la suma y la diferencia de los números.

Ejemplo:

4x2 - y2 = (2x2)2 - y2 = (2x + y) (2x - y)

6.3 Trinomios que son cuadrados perfectos = Binomio al cuadrado

De la formula: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Los términos 1 y 3 son cuadrados perfectos y positivos
El término 2 es el doble producto de la raíz cuadrada de los otros dos.

Además,
Si el término del doble producto es positivo, el trinomio es el cuadrado de la suma de las dos raíces cuadradas
Y
Si el término del doble producto es negativo, el trinomio es el cuadrado de la diferencia de las dos raíces cuadradas.

Ejemplo:

4a2 + 12ab + 9b2


Adviértase que

4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2

4a2 + 12ab + 9b2 = (2a + 3b)2

6.4 Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos

Consideramos un trinomio del tipo px2 + qxy + ry2

Si px2 + qxy + ry2 = (ax + by) (cx + dy)

Entonces

p = ac r= bd y q = ad + bc

Ejemplo:

6x2 + 11x - 10

Se sabe que los factores de 6x2 son los primeros términos de los factores de ese trinomio y que los dos factores de - 10 son sus segundos términos. Pero estos factores deben ordenarse de tal modo que la suma algebraica de los productos cruzados sea 11x.

La ordenación deseada es

(3x - 2) (2x + 5)


6.5 Factores de Binomios del Tipo an + bn

Corrientemente la suma de dos cuadrados es irreductible, aunque expresiones como x6 + y6 y x12 + y12 que son la suma de dos cubos pueden ser factorizados.

1. La suma o diferencia de dos cubos. Si se divide x3 + y3 por x + y , se obtiene x2 - xy + y2


Por tanto:

x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)

y de la misma manera

x3 - y3 = (x + y) (x2 + xy + y2)

Ejemplo

8a3 + b3

8a3 + b3 = (2a + b) (4a2 - 2a + b2)


6.6 Factorización por agrupación = 2 binomios


Frecuentemente un multinomio que contiene cuatro o más términos se puede reducir a una forma factorizable mediante una adecuada agrupación de sus términos y posterior factorización de los grupos.

Ejemplo:

ax - bx - ay + by

ax - bx - ay + by = (ax - bx) - (ay - by)
ax - bx - ay + by = x (a - b) - y (a - b)

ax - bx - ay + by = (a - b) (x - y)





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